Question

若函数y=f（x）既是一次函数，又是奇函数，在（-∞，+∞）上又是增函数，且有f[f（x）]=4x，求函数y=f（x）的解析式．

Answer

根据函数类型利用待定系数法进行求解，然后根据奇偶性和单调性求出参数即可．
【解析】
∵函数y=f（x）是一次函数，
∴可设f（x）=ax+b（a≠0），…（2分）
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（0）=0∴b=0…（4分）
（或f（-x）=-f（x），
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0）
∴f（x）=ax，（a≠0）…（5分）
则f[f（x）]=a（ax）=a2x，…（8分）
∵f[f（x）]=4x，
∴a2=4，
解得a=2或a=-2，…（10分）
又f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f（x）=2x…（12分）