Question

已知f（x）=x+asinx．若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围    ．

Answer

先求原函数的导函数，由题意知，导函数大于等于0在（-∞，+∞）上恒成立，再根据余弦函数的值域可得到关于a的不等式组，解不等式组即可
【解析】
∵f（x）=x+asinx
∴f'（x）=1+acosx
又∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
∴f'（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即1+acosx≥0在（-∞，+∞）上恒成立
∴只需满足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可
又∵cosx∈[-1，1]
∴当a≥0时，f'min（x）=1-a≥0，解得0≤a≤1
当a＜0时，f'min（x）=1+a≥0，解得-1≤a＜0
∴-1≤a≤1
故答案为：[-1，1]