Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之积为的点的轨迹，P为曲线C上的点．给出下列四个结论：
①直线y=k（x+2）与曲线C一定有交点；
②曲线C关于原点对称；
③|PF₁|-|PF₂|为定值；
④△PF₁F₂的面积最大值为．其中正确结论的序号是    ．

Answer

由题意曲线C是平面内与两个定点F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率的积等于常数，利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
【解析】
由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的斜率公式的得：
∵动点P与定点F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率之积为，
∴kPF1×kPF2=
∴=，即，
又x=±2时，必有一个斜率不存在，故x≠±2
综上点P的轨迹方程为（x≠±2）
对于①，当k=0时，直线y=k（x+2）与曲线C没有交点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=±2a═±4，其绝对值为定值，但|PF1|-|PF2|不虽定值，故③错；
对于④，由题意知点P在双曲线C上，则△F1PF2的面积，
由于双曲线上点P的纵坐标y没有最大值，所以④不正确．
故答案为：②．