Question

设直线l：x-y+m=0与抛物线C：y²=4x交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求△ABF的重心G的坐标；
（2）如果m=-3，求△ABF的外接圆的方程．

Answer

（1）联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据方程的根与系数关系可求x1+x2，y1+y2，当△=（2m-4）2-4m2＞0，由重心坐标公式可得，可求G
（2）当m=-3时，由已知得，可求A，B，设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A，B，F的坐标代入圆的方程可求
【解析】
（1）由已知得消去y得x2+（2m-4）x+m2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=4-2m，y1+y2=4，且F（1，0）
当△=（2m-4）2-4m2≤0，即 m≥1时，不构成三角形
当△=（2m-4）2-4m2＞0，即m＜1且m≠-1时，
由重心坐标公式可得=，=
∴重心为
（2）当m=-3时，由已知得消去y得x2-10x+9=0，
∴x1=9，x2=1
∴A（9，6），B（1，-2），设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
则
∴D=-16，E=2，F=15
所以圆的方程为：x2+y2-16x+2y+15=0