Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂=90°，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer

根据题意，点P即在已知椭圆上，又在以F1F2为直径的圆上．因此以F1F2为直径的圆与椭圆有公式点，所以该圆的半径c大于或等于短半轴b的长度，由此建立关于a、c的不等式，即可求得椭圆离心率的取值范围．
解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径的圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2-c2⇒2c2≥a2
两边都除以ea2，得2e2≥1，
∴e≥，结合0＜e＜1，
∴≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．