Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，它与直线x+y+1=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ，求椭圆方程．（O为原点）．

Answer

先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据OP⊥OQ判断出x1x2=-y1y2，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出x1x2和y1y2，根据x1x2=-y1y2求得b的值．进而椭圆的方程可得．
【解析】
设椭圆方程为，
由得
∴椭圆方程为，即x2+4y2=4b2设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由OP⊥OQ⇒x1x2=-y1y2由△＞0⇒b2＞，x1x2=
y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
∴
b2=
∴椭圆方程为