Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为BD₁的中点，G在CD上，且CG=，H为C₁G的中点，求
（1）FH的长；
（2）直线FH与直线BD₁的夹角θ的余弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，分别表示出F，H的坐标，从而可求向量FH的模，进而可得FH的长．
（2）由（1）知，，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求所成角的余弦值．
【解析】
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则F（2，2，2），C（0，4，0），B1（4，4，4），C1（0，4，4），G（0，3，0）
（1）∵H为C1G的中点
∴
∵F（2，2，2）
∴=
∴；
（2）由（1）知，，
∴，，
，
∴
故直线FH与直线BD1的夹角θ的余弦值是．