Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=16，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer

（1）把已知直线l的方程变形为m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直线l必过直线2x+y-7=0与直线x+y+4=0的交点，故联立两直线的方程组成方程组，求出方程组的解，得到交点坐标为（3，1），故不论m取什么实数，直线l恒过定点（A3，1），得证；
（2）由A到圆心的距离d小于圆的半径，判断得到点A在圆内，则直线经过园内的点，从而可判断直线与圆相交
（3）此时直线x+y-4=0，先求出圆心到该直线的距离d，然后根据公式可求弦的长度l
【解析】
（1）∵直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0
∴直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，
由方程组，
解得，即两直线的交点为A（3，1）
则不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1）
（2）∵圆C：（x-1）2+（y-2）2=16，
∴圆心C（1，2），半径r=4，
∵点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离，
∴A点在C内，直线与圆相交
（3）当m=0时，直线方程为x+y-4=0
圆心（1，2）到直线x+y-4=0的距离d==，半径r=4
∴==
∴