Question

若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=2x²-4x（如图）．
（Ⅰ）请补全函数f（x）的图象；
（Ⅱ）写出函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）用定义证明函数y=f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．

Answer

（1）根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f（x）的图象．
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞）f（-x）=2（-x）2-4（-x）=2x2+4x再根据f（x）为奇函数即满足f（x）=-f（-x）即可求出f（x）在x∈（-∞，0）的解析式从而即可求出函数f（x）的表达式．
（Ⅲ）直接根据单调递增函数的定义证明即可．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）如图所示．    …（4分）
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞）
由f（x）为奇函数，
则f（x）=-f（-x）=-[2（-x）2-4（-x）]=-2x2-4x…（6分）
综上所述，…（7分）
评分建议：
用待定系数法也可以完成，参照以上评分标准给分；
观察图象，直接得出函数解析式，没有中间过程，建议这次不扣分；
如果最后结果不写成分段形式，应当扣（1分）．
（Ⅲ）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分）
则f（x1）-f（x2）=…（9分）
=
=2（x1+x2）（x1-x2）-4（x1-x2）
=2（x1-x2）[（x1+x2）-2]…（10分）
∵x1＜x2∴x1-x2＜0
又由x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，所以x1+x2＞2，∴（x1+x2）-2＞0
∴2（x1-x2）[（x1+x2）-2]＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（11分）
∴函数f（x）=2x2-4x在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）
评分建议：如果不强调取值的任意性，建议酌情扣（1分）．