Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记．
（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂）．若f（x₁）=g（x₂），求实数b的值；
（Ⅲ）若2^xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）判断知，此函数h（x）=2x- 是一个奇函数，由奇函数的定义进行证明即可；
（II）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2），然后根据函数的单调性求出f（x1）与g（x2），建立等式，解之即可；
（III）将m分离，然后根据函数的单调性求出另一侧函数在闭区间上的最值，即可求出m的取值范围．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）函数为奇函数…（2分）
现证明如下：
∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）
由…（5分）
∴函数为奇函数…（6分）
（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）…（7分）
∵f（x）=2x在区间[1，2]上单调递增，
∴，即f（x1）=4…（8分）
又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减
∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b…（9分）
由f（x1）=g（x2），
得1+b=4，∴b=3…（10分）
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，
即m（22x-1）≥-（24x-1），
∵22x-1＞0，∴m≥-（22x+1）…（12分）
令k（x）=-（22x+1），x∈[1，2]
下面求函数k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，∴-（22x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）max=-5…（13分）
故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）