Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDF；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDF．

Answer

（I）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF，由三角形中位线定理可得OF∥PA，再由线面平行的判定定理，即可得到PA∥平面BDF；
（Ⅱ）由已知中PA⊥平面ABCD，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，我们可证得OF⊥AC，AC⊥BD．由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDF．再由面面垂直的判定定理得到，平面PAC⊥平面BDF．
证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．…（1分）
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，
∴OF∥PA．  …（4分）
∵OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，
∴PA∥平面BDF．                …（6分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，
∴OF⊥AC．      …（8分）
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．            …（10分）
∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．      …（12分）
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDF．   …（14分）