Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）通过nan=Sn+2n（n-1），写出当n≥2时（n-1）an-1=Sn-1+2（n-1）2-2（n-1），通过作差，证明数列{an}为等差数列，即可求出{an}的通项公式an；
（2）求出了的前n项和，求出的表达式．然后利用等差数列求和，利用等式求出n的值即可．
【解析】
（1）因为nan=Sn+2n（n-1），
当n≥2时（n-1）an-1=Sn-1+2（n-1）2-2（n-1），
两式作差，有（n-1）an-（n-1）an-1=4n-4，
⇒an-an-1=4，
又a1=1，所以an=4n-3；
（2）由（1）可知数列是等差数列，
所以Sn==n（2n-1）⇒=2n-1，
假设存在n满足题设条件，则（2-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2n-1）-（n-1）2=2009，
1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）2=2009，-（n-1）2=2009，
即2n-1=2009，所以n=1005．