Question

抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分成m和n两部分，则=    ．

Answer

当直线斜率存在，可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x1+x2，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得+，当斜率不存在时，亦可求得+．
【解析】
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），假设过F点的直线l的斜率存在，设为k，
则l的方程为：y=k（x-1），直线方程与抛物线方程联立消去y得：
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设直线l与抛物线y2=4x的两交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则x1、x2为方程k2x2-（2k2+4）x+k2=0的两根，
∴x1+x2=2+，x1•x2=1．
又由抛物线定义可得：
m+n=x1+x2+p=2++2=4+，
m•n=（x1+1）（x2+1）=x1•x2+（x1+x2）+1=4+．
∴+==1．
②若k不存在，则AB方程为x=1，m=n=2，显然符合+=1．
综上所述：+=1．
故答案为：1．