Question

已知椭圆．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．

Answer

（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），中点为R（x，y），则，，两式相减得=-，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（2）设直线方程为y-1=k（x-2），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，两式相减得
，故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y•=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），由P（）是EF的中点，知x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得k==-，由此能求出过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
【解析】
（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2） 的中点为R（x，y），
则，，
两式相减并整理可得，①
将代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切），
设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），
则，，两式相减得
，
显然x3≠x4（两点不重合），
故+，
令中点坐标为（x，y），
则x+2y•=0，
又（x，y）在直线上，所以，
显然，
故x+2y•k=x+2y=0，即所求轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），
∵P（）是EF的中点，
∴x5+x6=1，y5+y6=1，
把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，
得，
∴（x5+x6）（x5-x6）+2（y5+y6）（y5-y6）=0，
∴（x5-x6）+2（y5-y6）=0，
∴k==-，
∴过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程：，
即2x+4y-3=0．