Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．

Answer

（1）由，，代入可求
（2）联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），则根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，代入到=x1x2+y1y2可证OC⊥OD
【解析】
（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴，
∵
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y2-8
整理可得，x2=2y
（2）联立可得x2-2x-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=-4，
∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4
∵=x1x2+y1y2=0
∴OC⊥OD