Question

对任意实数x，不等式|x-|-a²＞（4a-|2x+1|）恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由题设知|x-|-＞a2+2a．由，得；由2x+1=0，得x=-．①当时，a2+2a+3＜0，a∈∅；当-时，a2+2a≤3，解得-3≤a≤1；当a＜-时，a2+2a＜3，解得-3＜a＜1．综上所述-3≤a≤1．
【解析】
∵对任意实数x，不等式|x-|-a2＞（4a-|2x+1|）恒成立，
∴|x-|-＞a2+2a，（*）
由，得；由2x+1=0，得x=-．
①当时，由（*）式，得，
即a2+2a+3＜0，
∴a∈∅；
②当-时，由（*）式，得
＞a2+2a，
即a2+2a＜2-2x，
∵-，∴-3＜2-2x≤3，
∴a2+2a≤3，
解得-3≤a≤1；
③当a＜-时，
由（*）式，得，
即a2+2a＜3，
解得-3＜a＜1．
综上所述，-3≤a≤1．
故答案为：[-3，1]．