Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且a_n+1-2=a_n．
（1）求使不等式S_n＜56成立的n的最大值；
（2）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）由an-1-2=an，知an-1-an=2，故=n2+n．由此能求出使不等式Sn＜56成立的n的最大值．
（2）存在存在等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9．由an=2n，知a3=6，a9=18，a1=2，则由b1=a1，b2=a3，b3=a9，由此能推导出存在以b1=2为首项，公比为3的等比数列{bn}，其通项公式为．
【解析】
（1）∵an-1-2=an，
∴an-1-an=2，
即数列{an}是以2为首项，公差为2的等差数列，
∴
=n2+n．
∴由Sn＜56，得0＜n＜7，n∈N*．
故使不等式Sn＜56成立的n的最大值为6．
（2）存在存在等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9．
由（1）知，an=2n，
∴a3=6，a9=18，a1=2，
则由b1=a1，b2=a3，b3=a9，
得，
即存在以b1=2为首项，公比为3的等比数列{bn}，
其通项公式为．