Question

一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

由已知中函数的解析式，我们可以判断出函数为奇函数，进而分类讨论后求出函数f（x）的值域，进而可以判断出①的真假；判断出函数的单调性，根据函数单调性的性质，可以判断②的真假；利用数学归纳法证明对任意n∈N*是否恒成立，可以判断③的真假，进而得到答案．
【解析】
∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵

∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x）在（-1，1）上为增函数
故当x1≠x2时，则一定有f（x1）≠f（x2）
故乙对
若规定f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x）），
则当n=1时，，满足
设n=k时，满足
当n=k+1时，fK+1（x）=f（fK（x））==
即对任意n∈N*恒成立
故丙对
故选D