Question

如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4．
（1）求和点G的坐标；
（2）求GE与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求点C到截面AEFG的距离．

Answer

（1）用坐标表示点，进而可求求，利用，可求点G的坐标；
（2）求出平面ABCD的法向量，进而向量的夹角公式，可求GE与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求出平面AEFG的法向量，再利用点到面的距离公式，即可求得点C到截面AEFG的距离．
【解析】
（1）由图可知：A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4）
∴
又∵，设G（0，0，z），
则（-1，0，z）=（-1，0，1）
∴z=1，∴G（0，0，1）
（2）平面ABCD的法向量．，
设GE与平面ABCD成角为θ，则sinθ=
（3）设⊥面AEFG，=（x，y，z）
∵⊥，⊥，而=（-1，0，1），=（0，4，3）
∴
∴
∴
取z=4，则=（4，-3，4）
∵=（0，0，4）
∴=
即点C到截面AEFG的距离为．