Question

设函数f（x）与g（x）的定义域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）指出f（x）的单调增减区间并证明．

Answer

（1）利用f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，列出方程组，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）通过导数，判断函数的单调性，指出f（x）的单调增减区间．
【解析】
（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），且g（-x）=-g（x）
而，…①
得，
即，…②
解①②得，．
（2），所以，
令f′（x）＜0，即，解得x＞0，
函数的定义域为：x∈R且x≠±1，
所以函数在（0，1），（1，+∞）是减函数；
因为函数是偶函数，
所以在（-∞，-1），（-1，0）是增函数．