Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，点M是A₁B的中点，点N是B₁C的中点，连接MN．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1，，点P是CC₁的中点，求四面体B₁-APB的体积．

Answer

（1）连接AB1，可证MN∥AC，利用线面平行的判定定理可证MN∥平面ABC；
（2）利用AB=1，，可证明AB⊥AC，AA1⊥AC，即AC⊥平面ABB1A1，从而==••AC，问题即可解决．
证明：（Ⅰ）连接AB1，
∵四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点，
∴点M是AB1的中点，
∵点N是B1C的中点，
∴MN∥AC，
∵NM⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC，…6
（Ⅱ）∵AB=1，，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AB⊥AC，
∵AA1⊥AC，AA1∩AB=A，
∴AC⊥平面ABB1A1，又CC1∥平面ABB1A1，
∴P到平面平面ABB1A1的距离就是AC的长度．
∴==•AC=××1××=…12