Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12-=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2-k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．
【解析】
（1）依题意知2b=2，∴b=1，e===
∴a=2，c==
∴椭圆的方程为
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，
∵=0
∴x12-=0
∴y12=4x12
又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1
∴|x1|=，|y1|=
s=|x1||y1-y2|=1
所以三角形的面积为定值．
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0
∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2-4（k2+4）（b2-4）＞0
而=0，
∴x1x2+=0
即x1x2+=0代入整理得
2b2-k2=4
S=|AB|=|b|=
===1
综上三角形的面积为定值1．