Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（I）解不等式f（x）＞5；
（II）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，先求出每个不等式组的解集，取并集即得所求．
（II）先求出函数f（x）=|x-1|+|2x+2|的最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞），根据f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求得a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）不等式f（x）＞5 即|x-1|+|2x+2|＞5，∴①，或②，或③．
解①得 x＜-2，解②得 x∈∅，解③得 x＞．
故原不等式的解集为 {x|x＜-2，或 x＞ }．
（Ⅱ）由于函数f（x）=|x-1|+|2x+2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离加上 数轴上的x对应点到-1对应点的距离的2倍，
故当x=-1时，函数f（x）=|x-1|+|2x+2|有最小值等于2，即 f（x）∈[2，+∞）．
由于f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，则a∈（-∞，2]．