Question

如图，简单组合体底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若，求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值．

Answer

（1）把问题转化为证明平面EBC∥平面PAD即可得到结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到结论．
【解析】
（1）∵EC∥PD，PD在平面PAD内，EC不在平面PAD内，
∴EC∥平面PAD，同理可得BC∥平面PAD，…（2分）
∵EC在平面EBC内，BC在平面EBC内
且EC∩BC=C
∴平面EBC∥平面PAD，
又∵BE在平面EBC内，…（4分）
∴BE∥平面PDA…（6分）
另【解析】
建系，利用向量，参照给分．
（2）以点D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（0，0，），E（0，2，）．
知=，=…（8分）
设平面PBE的法向量为=（x，y，z）
∵
∴
取=…（10分）
又=（0，0，1）⊥平面ABCD
故所求夹角的余弦值为．…（12分）