Question

已知抛物线y²=4x，过点P（1，1）能否作一条直线与抛物线交于A，B两点，且P为线段AB 的中点？若能．求出直线方程，若不能说出理由．

Answer

法一：由题意可设直线AB的方程为x-1=k（y-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程可求，y1+y2，结合中点坐标公式可得，=1可求k的值，进而可求直线方程
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减及=可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程
【解析】
法一：由题意可设直线AB的方程为x-1=k（y-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程可得y2-4ky+4（k-1）=0
则△=16（k2-k+1）＞0，y1+y2=4k
由中点坐标公式可得，=2k=1
∴，直线AB的方程为即2x-y-1=0
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点坐标公式可得，x1+x2=2
则
两式相减可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）
∴==2
∴直线AB的方程为y-1=2（x-1）即2x-y-1=0