Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）试直线y=kx+1交椭圆于不同的两点A、B，以AB为直径的圆恰过原点O，求直线方程．

Answer

（1）根据椭圆的几何性质，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合以AB为直径的圆恰过原点O，求得切线向量，即可求得直线方程．
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆的离心率为，长轴长为2
∴，
∴
∵a2=b2+c2
∴b=1 （2分）
∴所求椭圆方程为  （4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
消去y并整理得（1+3k2）x2+6kx=0
则△=（6k）2-4（1+3k2）×0＞0，
解得k≠0   （5分）
故，x1x2=0     （8分）
∵以AB为直径的圆恰过原点O
∴
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=（10分）．  
∴  
∴直线方程为（12分）