Question

已知函数的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer

（1）由x2＞0，0＜＜1，可求得函数的值域A，利用奇偶函数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设-1＜x1＜x2＜0，作差后化积f（x1）-f（x2）=（-）（1+），判断积的符号即可；
（3）利用（2）中所证的单调性与其定义域为A可列关于x的不等式组，解之即可．
【解析】
（1）∵x2＞0，
∴0＜＜1，-1＜＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函数f（x）=x-2-x2（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：设-1＜x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）=--（-）=+（-）
=（-）（1+）．
∵-1＜x1＜x2＜0，
∴＞，＞0，
∴（-）（1+）＜0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函数．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴解得：x∈∅．