连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线.(在BC1上取一点与A1C构成三角形,因为三角形两边和大于第三边)由余弦定理即可求解.
【解析】
连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,
连接A1C,长度即是所求.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ABC=90°,AC=4,BC=CC1=,
∴矩形BCC1B1是边长为的正方形;则BC1=2;
另外A1C1=AC=4;
在矩形ABB1A1中,A1B1=AB=2,BB1=,则A1B=2;
易发现42+22=(2)2,即A1C12+BC12=A1B2,
∴∠A1C1B=90°,则∠A1C1C=135°
故A1C===
故答案为: