Question

已知函数f（x）=cos²x-2asinx（0≤x≤π），求f（x）的最值．

Answer

因为cos2x=1-sin2x，用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题，按照对称轴在区间的左面、在区间内和在区间的右面三种情况讨论．
【解析】
f（x）=cos2x-2asinx=-sin2x-2asinx+1
令t=sinx，因为0≤x≤π，所以0≤t≤1且y=-t2-2at+1=-（t+a）2+2，其对称轴为t=-a，
故-a≤0时，即a≥0时，y=-t2-2at+1在[0，1]上是减函数，最大值为1；最小值为：-2a，
当0＜-a＜时，即时，当t=-a，y有最大值1+a2，最小值为：-2a；
当时，即时，当t=-a时y有最大值1+a2，最小值为：1；
当-a≥1时，即a≤-1时，y=-t2-2at+1在[0，1]上是增函数，最小值为1；最大值-2a．