Question

已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x+）且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间．

Answer

（1）由三角函数的性质求出用参数表示的函数的最值，由于函数的值域已知，故此两区间相等，故左端点与左端点相等，右端点与右端点相等，由此得到参数的方程，解出参数值即可．
（2）本题要求出在定义域中的单调区间，故要先求出其定义域，再由单调性求出其单调区间，由（1），f（x）=-4sin（2x+）-1，代入即可求得g（x）的表达式，又由lgg（x）＞0，可求得函数的定义域，再由g（x）的单调性求出其在定义域内的单调区间．
【解析】
（1）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∴-2asin（2x+）∈[-2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a+b]，又-5≤f（x）≤1．
∴，解得．
（2）f（x）=-4sin（2x+）-1，
g（x）=f（x+）=-4sin（2x+）-1
=4sin（2x+）-1，
又由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，
∴4sin（2x+）-1＞1，
∴sin（2x+）＞，
∴+2kπ＜2x+＜π+2kπ，k∈Z，
由+2kπ＜2x+≤2kπ+，得
kπ＜x≤kπ+，k∈Z．
由+2kπ≤2x+＜π+2kπ得
+kπ≤x＜+kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为（kπ，+kπ]（k∈Z），
单调递减区间为[+kπ，+kπ）（k∈Z）