Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）；数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n和为S_n，求．

Answer

（Ⅰ）根据Sn=2an-2，利用Sn=2an-2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn，bn+1）在直线y=x+2上，代入得数列{bn}是等差数列，即可求通项；
（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an-2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2），…（2分）
即an=2an-1，
∵an≠0，
∴；
即数列{an}是等比数列．
∵a1=S1，
∴a1=2a1-2，即 a1=2
∴． …（6分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2，
即数列{bn}是等差数列，又b1=1，
∴bn=2n-1．…（8分）
（Ⅱ）由题意，∵bn=2n-1
∴
∴，…（9分）
，…（10分）
…（11分）
=．…（12分）