Question

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“紧密函数”．若f（x）=x²-3x+2与g（x）=mx-1在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（ ）
A．[0，1]
B．[2，3]
C．[1，2]
D．[1，3]

Answer

根据“紧密函数”的定义列出绝对值不等式|x2-3x+2-（mx-1）|≤1，可得在x∈[1，2]上成立，令F（x）=x，G（x）=，x∈[1，2]，从而转化为F（x）max≤m≤g（x）min，可求
【解析】
因为f（x）与g（x）在[a，b]上是“紧密函数”，
则|f（x）-g（x）|≤1即|x2-3x+2-（mx-1）|≤1在[1，2]上成立
即|x2-（3+m）x+3|≤1在[1，2]上成立
化简得-1≤x2-（3+m）x+3≤1在[1，2]上成立
∴
即在x∈[1，2]上成立
令F（x）=x，G（x）=，x∈[1，2]，
则F（x）=x在[1，]上单调递减，[]上单调递增，F（x）max=0
G（x）=在[1，2]上单调递减，G（x）min=G（2）=1
∴0≤m≤1
故选A