Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{a_n}成等比数列的充要条件．

Answer

先求出a1的值，再由n≥2时，an=Sn-Sn-1=（p-1）•pn-1进而可判定n≥2时，{an}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{an}是等比数列，从而{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；当p≠0且p≠1且q=-1时，根据Sn=pn-1可求出an=（p-1）•pn-1，进而得到=p即{an}是等比数列，即可知q=-1是{an}是等比数列的充分条件．
证明：当n=1时，a1=S1=p+q；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（p-1）•pn-1．
由于p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使{an}（n∈N*）是等比数列，
则=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=-1时，Sn=pn-1，
an=（p-1）•pn-1，=p（n≥2），
∴{an}是等比数列．