Question

下图是一几何体的直观图、主观图、左视图、俯视图．其中俯视图为正方形，主视图为直角梯形，左视图为等腰直角三角形，且CE是中线．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（2）证明：BD∥面PEC．

Answer

（1）由由三视图知，ABCD为正方形，BE∥PA，PA⊥平面ABCD，PA=AD．可证DC⊥面APD，AF⊂面APD，从而DC⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证得AF⊥面PCD；
（2）取PC中点M，连接AC，AC与BD的交点为N，求证EM∥BD再由线面平行的判定定理证BD∥平面PEC；
证明：由三视图知，ABCD为正方形，平面ABCD，PA=AD．
（1）∵F为PD中点，
∴AF⊥PD，
又∵，
∴DC⊥面APD，AF⊂面APD，
∴DC⊥AF，又DC∩PD=D，
∴AF⊥面PCD；
（2）取PC中点M，连接AC，AC与BD的交点为N，
连接MN，
∴MN∥PA，PA∥BE，
∴MNBE，
故四边形BEMN为平行四边形，
∴BD∥EM，
∵EM⊂面PEC，BD⊄面PEC，
∴BD∥面PEC．