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如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A...

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈;然后又以A为圆心,AA3半径画弧,如此继续下去,这样画到第n圈.设所得螺旋线CA1A2A3…A3n-2A3n-1A3n的总长度为Sn.求
(1)S1=   
(2)Sn=   
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(1)当n=1时,即为螺旋线CA1A2A3的长度和,所以S1=+2×+3×=4π (2)由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线,是由3n条弧长构成,这些弧长的圆心角都为 ,根据弧长公式得到这些弧长是 为首项,为公差,项数为3n的等差数列,所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和,求出即可. 【解析】 (1)当n=1时,S1=+2×+3×=4π (2)根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3…A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的长度分别为:,,…,, 化简得:,2×,3×,…,3n×,此数列是 为首项,为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×+×=2nπ+nπ(3n-1)=n(3n+1)π. 故答案为:4π、n(3n+1)π
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