Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使得f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18的两个不动点分别是-3和2：
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的表达式；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer

（Ⅰ）直接利用定义把条件转化为f（-3）=-3，f（2）=2联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（Ⅱ）先求出对称轴，判断区间所在位置，即可求函数f（x）的值域．
【解析】
（Ⅰ）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b-a-ab=-3，4a+2b-14-a-ab=2，解得a=-3，b=5a，b=-15
∴f（x）=-3x2-2x+18
（Ⅱ）∵函数f（x）的对称轴，且图象开口向下，
所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=18，f（x）min=f（1）=13
所以函数f（x）的值域为[13，18]