Question

如果函数f（x）对于任意x∈R，存在M使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立（其中M是与x无关的正常数），则称函数f（x）为有界泛函，给出下列函数：
①f₁（x）=1；
②；
③；
④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f₁（x）-f₂（x）|≤2|x₁-x₂|，其中属于有界泛函的是    （填上正确序号）．

Answer

根据有界泛函数的定义，逐个验证，对于①取x=0，即可说明①不是有界泛函数；对于②采取反证法，f（x）=x2是有界泛函数，则x2≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函数；对于③求函数的最大值即可证明③是有界泛函数；对于④，通过取x2=0，如此可得到正确结论．从而得到答案．
【解析】
函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x2是有界泛函数，则x2≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）2＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③≤，故④是有界泛函数；
④当x=0，因||f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故正确；
故答案为：③④．