Question

已知集合U=R，集合A={x||x-a|＜2}，f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，设函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域为B，
（1）求值域B；  
（2）若A⊆C_UB，求实数a的取值范围．

Answer

（1）可由x∈[1，9]，f（x）=2+log3x，求得f（x）∈[1，4]，从而可求得函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）的值域为B；
（2）由B=[6，13]可求得）CUB=（-∞，6）∪（13，+∞），A=（a-2，a+2），A⊆CUB，从而可求得实数a的取值范围．
【解析】
∵A={x||x-a|＜2}，
∴-2＜x-a＜2，
∴a-2＜x＜2+a
∴A=（a-2，a+2）
∵x∈[1，9]，故0≤log3x≤2，
∴f（x）=（2+log3x）∈[2，4]，
∴f（x2）=2+，x2∈[1，9]，x∈[1，3]，
∴函数g（x）=[f（x）]2+f（x）的定义域为[1，3]，
又，
令t=log3x，则0≤t≤1，
∴g（x）∈[6，13]，即B=[6，13]，
（2）∵CUB=（-∞，6）∪（13，+∞），
A⊆CUB，A=（a-2，a+2）
∴a+2≤6或a-2≥13．
∴a≤4或a≥15