Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．
（1）求证：AC⊥面ABC₁；
（2）求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）求此三棱柱体积的最小值．

Answer

（1）根据棱柱的性质，我们可得A1C1∥AC，又由已知中A1C1⊥BC1，AB⊥AC，我们根据线面垂直的判定定理可得AC⊥面ABC1；
（2）根据（1）的结论，由线面垂直的判定定理可得平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC，即C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）连接HC，由（2）的结论可得C1H⊥平面ABC，即∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，由已知中侧棱与底面成60°角，故可得当CH=AC时，棱柱的体积取最小值，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．
证明：（1）由棱柱性质，可知A1C1∥AC，∵A1C1⊥BC1，
∴AC⊥BC1，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1
（2）由（1）知AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC1，
在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC
故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．
【解析】
（3）连接HC，由（2）知C1H⊥平面ABC，
∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=
V棱柱=
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱体积最小值3×．