Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB₁；
（2）若MN⊥AB₁，求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB₁，求二面角A-B₁N-M的大小
（4）若MN⊥AB₁，求点M到平面AB₁N的距离．

Answer

（1）先根据条件得到MN⊥面AB1M，再结合B1C12+NC12=B1M2+NM2即可求出结论．
（2）AB平行于A1B1，∠A1BN就是异面直线所成的角，转化为求∠A1BN
（3）作ME⊥B1N，交B1N于E可得∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角；计算出tan∠AEM即可．
（4）作MH⊥AE于H，根据条件得到MH的长即为点M到平面AB1N的距离，然后在直角三角形AME中，求出MH即可．
【解析】
（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M为BC中点，
∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1
∴AM⊥MN，NM⊥AB1；AM∩AB1=A
所以MN⊥AB1M
BC=B1C1=，
设CN=x，则NC1=2-x
B1C12+NC12=B1M2+NM2
2+（2-x）2=22+++x2，
解得x=．
（2）∵AB∥A1B1
∴异面直线B1N与AB所成的角为∠A1BN
∵面ABB1A1⊥面ACC1A1，
∴B1A1⊥面ACC1A1，B1A1⊥A1N
A1N===．
∴tan∠A1BN==．
（3）连接AM，M为BC中点，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1
作ME⊥B1N，交B1N于E，连接AE，∴AE⊥B1N （三垂线定理）
∴∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角
=22++=⇒B1N=．
NM2=+
设EN=x，∵△B1NM为直角三角形，∴NM2=x•B1N
即=⇒x=．
ME==
AM=，
∴tan∠AEM==1
∴二面角A-B1N-M为45°．
（4）作MH⊥AE于H，①
由第三问得B1N⊥平面AEM，所以B1N⊥MH，②
AE∩B1N=E    ③
结合①②③得：MH⊥平面AB1N；
∴MH的长即为点M到平面AB1N的距离
在直角三角形AME中，MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=×=．
即点M到平面AB1N的距离为：．