Question

已知△ABC中，A，B，C成等差数列，向量，向量，求：的取值范围．

Answer

由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再根据三角形的内角和定理可得出B的度数，进而得出A+C的度数，用A表示出C，由两向量的坐标表示出两向量和的坐标，利用向量模的计算法则表示出|+|2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将表示出的C代入，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由A的范围，得到这个角的范围，根据余弦函数的图象与性质得出此时余弦函数的值域，即为|+|2的范围，开方即可得到的取值范围．
【解析】
∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=，A+C=，且0＜A＜，C=-A，
又向量，向量，
∴+=（cosA，-1）=（cosA，cosC），
∵|+|2=cos2A+cos2C=+
=1+（cos2A+cos2C）
=1+[cos2A+cos2（-A）]
=1+[cos2A+cos（-2A）]
=1+（cos2A-cos2A-sin2A）
=1+（cos2A-sin2A）
=1+cos（2A+），
∵0＜A＜，∴＜2A+＜，
∴-1≤cos（2A+）＜，
∴≤1+cos（2A+）＜，
则≤|+|＜．