Question

已知函数，且．
（1）求m的值；     
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[-5，-1]上的最值．

Answer

（1）由代入可求m
（2）先设0＜x1＜x2，利用作差可得=，根据已知判断比较f（x2）与f（x1）即可
（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．且可证函数f（x）为奇函数．结合（2）知f（x）在[1，5]上为减函数，则根据奇函数的性质可知函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．结合函数单调性可求
【解析】
（1）由得：，
即：4m=4，解得：m=1；…（2分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（3分）
证明：设0＜x1＜x2，
则=；…（5分）
∵0＜x1＜x2
∴，
即f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（7分）
（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．…（8分）
∴，即函数f（x）为奇函数．…（9分）
由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．…（10分）
∴当x=-5时，f（x）取得最大值，最大值为；
当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为f（-1）=-2+1=-1．…（12分）
（其他解法请参照给分）