Question

已知函数f（x）=sin²x+asinxcosx+bcos²x（x∈R），且．
（1）求该函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer

（1）直接利用，得到方程组，求出a，b，通过二倍角浪迹花都正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求该函数的最小正周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过左加右减的原则，先平移然后伸缩变换，即可变换为所求函数的图象．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）函数f（x）=sin2x+asinxcosx+bcos2x（x∈R），
且．
所以
得：，
解得：，…（2分）
∴f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=sin2x+2cos2x+1
=sin2x+cos2x+2
=，…（5分）
∴，即函数的最小正周期为π．…（6分）
由
得：；
∴函数f（x）的单调递减区间为．…（8分）
（2）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过下列变换得到：
①将y=sinx的图象向左平移个单位得到的图象；…（9分）
②将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）
得到的图象；…（10分）
③将的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的（横坐标不变）
得到的图象；…（11分）
④将的图象向上平移2个单位得到的图象．…（12分）
（其它解法评分参照执行）