Question

已知数列 a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，其中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差为 d的等差数列；a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差为 d²的等差数列（d≠0）．
（1）若 a₂₀=40，求 d；
（2）试写出 a₃₀关于 d的关系式；
（3）续写已知数列，使得 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差为 d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题，并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer

（1）由已知中a1，a2，a3，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，a10，a11，a12，…，a20是公差为 d的等差数列；可得a20的表达式（含d），进而根据a20=40，可求出 d值；
（2）根据a20，a21，a22，…，a30是公差为 d2的等差数列，根据等差数列的性质可得a30关于 d的关系式；
（3）由 a30，a31，a32，…，a40是公差为 d3的等差数列，可得a40的表达式，进而根据（1）和（2）的结论，可以归纳推断出．
【解析】
（1）a1，a2，a3，…，a10首项为1，公差为1
∴a10=1+9×1=10a10，a11，a12，…，a20首项为a10，公差为d
∴a20=a10+10d=10（1+d）
∵a20=40∴10（1+d）=40∴d=3
（2）a20，a21，a22，…，a30首项为a20，公差为d2
∴a30=a20+10d2=10（1+d+d2）
（3）a30，a31，a32，…，a40首项为a30，公差为d3
∴a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3）
依此类推可得：a10n=10（1+d+d2+…+dn-1），n∈N*
∵d≠0∴当 d=1时，a10n=10（1+d+d2+…+dn-1）=10n
当 d≠1时，a10n=10（1+d+d2+…+dn-1）==
综上得结论：