Question

已知∠ASC=90°，∠BSA=∠BSC=60°，又SA=SB=SC
求证：平面ABC⊥平面SAC．

Answer

由于∠BSC=∠BSA=60°，且SA=SB=SC，可以发现三角形SAB、SBC是正三角形，又由∠ASC=90°可得三角形ABC为等腰三角形，故取底边BC的中点D，连接SD，AD，可以证明三角形BSD为直角三角形，而∠ADS恰好为二面角S-BC-A的平面角，从而由面面垂直的定义可证之．
证明：设SA=SB=SC=a，
∵∠BSA=∠BSC=60°，
∴三角形SBC、SAB为正三角形，AB=BC=a
∵∠ASC=90°
∴三角形SAC为等腰直角三角形，AC=a
∴三角形ABC为等腰三角形，
取AC的中点D，连接SD、BD，由等腰三角形三线合一的性质可得
∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠BDS即为二面角S-AC-B的平面角，
又∵等腰直角三角形SAC中，SD=AD=a，
等腰三角形ABC中，BD===
在三角形SBD中，SB=a，BD=a，SD=a，
∴三角形SBD为直角三角形，∠SDB=90°，
∴平面ABC⊥平面SAC．