Question

若 P为椭圆上任意一点，F₁、F₂为左、右焦点，如图所示．
（1）若PF₁的中点为M，求证：；
（2）若，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）椭圆上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer

（1）在△F1PF2中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案；
（2）先利用椭圆的定义得到：|PF1|+|PF2|=10，再在△PF1F2中利用余弦定理得出cos 60°=，两者结合即可求得|PF1|•|PF2|；
（3）先设点P（x，y），根据椭圆的性质，易知F1（-3，0），F2（3，0），写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组，由此方程组无解，故这样的点P不存在．
证明：（1）在△F1PF2中，MO为中位线，
∴|MO|==
=a-=5-|PF1|…．（3分）
（2）【解析】
∵|PF1|+|PF2|=10，
∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|•|PF2|，
在△PF1F2中，cos 60°=，
∴|PF1|•|PF2|=100-2|PF1|•|PF2|-36，
∴|PF1|•|PF2|=．…（8分）
（3）【解析】
设点P（x，y），则 ．①
易知F1（-3，0），F2（3，0），故=（-3-x，-y），=（3-x，-y），
∵=0，
∴x-9+y=0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在． …（12分）