Question

已知双曲线，的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P的坐标为（0，-2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求t=的取值范围（O为坐标原点）．

Answer

（1）根据双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，建立方程，即可求得双曲线C的方程；
（2）假设直线方程，与双曲线方程联立，分类讨论，利用坐标表示向量的数量积，从而可确定t=的取值范围．
【解析】
（1）双曲线的右焦点为（c，0），一条渐近线方程为：bx-ay=0
∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
∴
∵c2=a2+b2
∴b2=12，a2=4
∴双曲线C的方程为…（4分）
（2）点P的坐标为（0，-2），设过P的直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立可得
消去y可得（3-k2）x2+4kx-16=0…（5分）
（1）3-k2=0，不符合题意，舍去…（6分）
（2）3-k2≠0时，△=16（12-3k2）＞0得k2＜4
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…（8分）
∴y1y2=（kx1-2）（kx2-2）=k2x1x2-2k（x1+x2）+4=
∴t==x1x2+y1y2==
∵k2＜4，3-k2≠0
∴3-k2＞-1，3-k2≠0
∴或
∴或
∴t＞52或…（12分）