Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A （-1，）；
（1）求满足条件的椭圆方程；
（2）求该椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率．

Answer

（1）根据题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），由椭圆的焦距为2，得c=1，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得b2=3，可得该椭圆方程；
（2）由（1）的计算结果，结合椭圆的有关基本概念，可得该椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率．
【解析】
（1）∵椭圆的焦点在x轴，
∴设椭圆方程为（a＞b＞0），
∵椭圆的焦距为2
∴c=1，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），
∵椭圆经过点A （-1，），
∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，
可得a=2，所以b2=a2-c2=3，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，椭圆的顶点坐标：（±2，0）和（0，±）；
长轴长为4；短轴长为2；离心率e=．