Question

一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E为线段AA₁上的点．
（1）求几何体E-B₁C₁CB的体积；
（2）是否存在点E，使平面EBC⊥平面EB₁C₁，若存在，求AE的长．

Answer

（1）说明三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，推出底面三角形是直角三角形，然后求出三棱柱ABC-A1B1C1D的体积．
（2）利用BE2=AB2+AE2=2，推出BE⊥B1E，通过，证明B1C1⊥平面AA1B1B，得到B1C1⊥BE，即可证明平面EBC⊥平面EB1C1．求出AE的长．
【解析】
（1）由题意可知，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
底面三角形是直角三角形，AB⊥BC，AB=1，BC=，BB1=2，
三棱柱ABC-A1B1C1D的体积为：V=S△ABC•BB1==．
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
∴BE2=AB2+AE2=2，
∴B1E2=A1B12+A1E2=2，
又BB1=2，
∴BE2+B1E2=BB12，
∴BE⊥B1E，
又
⇒B1C1⊥平面AA1B1B，∴B1C1⊥BE，
由BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1=B1，得BE⊥平面EB1C1，
又BE⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB1C1．  …（12分）
∴AE===1．