Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是    ．

Answer

根据△ABF2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=30°．在Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，可得，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=m，得到椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m，所以椭圆的离心率为e==．
【解析】
∵△ABF2是正三角形，
∴∠AF2B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F1=×60°=30°，
Rt△AF2F1中，设|AF1|=m，sin30°=，
∴|AF2|=2m，|F1F2|=
因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=m
∴椭圆的离心率为e==．
故答案为：